Important Concepts Of Mensuration And Questions For SSC And Railways

Quantitative Aptitude is an equally important section for SSC CGL, CHSL, MTS exams and has an even more abundant importance in some other exams conducted by SSC. Generally, there are questions asked related to basic concepts and formulas of Mensuration.
To let you make the most of QUANT section, we are providing important facts related to Mensuration. Also, Railway Exam is nearby with bunches of posts for the interested candidates in which quantitative aptitude is a major part. We have covered important notes and questions focusing on these prestigious exams. We wish you all the best of luck to come over the fear of General Awareness section
1. Cuboid(घनाभ)
 
  • Volume of the cuboid (घनाभ का आयतन) = l × b × h
  • Lateral surface Area(पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ) = Perimeter of Base × Height Base = 2(l + b) × h
  • Total surface area (कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल )= Lateral surface Area + 2 × Area of base = 2 (lh + bh + lb)
  • Diagonal (विकर्ण)= √(l²+b²+h² )
  • V = √(A1×A2×A3)

A1 ⟹ Area of base or top (आधार या शीर्ष का क्षेत्रफल)= lb
A2 ⟹ Area of one side face (एक किनारे के पृष्ठ का क्षेत्रफल) = bh    
A3 ⟹ Area of another side face (दूसरे किनारे के पृष्ठ का क्षेत्रफल)= hl

  • To find the total surface area of a cuboid if the sum of all three sides and diagonals are given.( किसी घनाभ के कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करना यदि सभी तीनों भुजाओं के योग और विकर्ण दिए गए हों।)
  • Total surface area(कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल)= (sum of all three side)² – (Diagonal)²
  • For painting the surface area of a box or to know how much tin sheet is required, we will use, Total surface area.( किसी बक्से के पृष्ठ के क्षेत्र को रंगने के लिए या यह ज्ञात करने के लिए कि टिन के शीट की कितनी आवश्यकता होगी, हम कुल पृष्ठ के क्षेत्रफल का उपयोग करेंगे।)
  • To find the length of the longest pole to be placed is a room, we will calculate diagonal(किसी कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लम्बे खम्भे की लम्बाई ज्ञात करने के लिए, हम विकर्ण की गणना करते हैं) i.e. √(l²+b²+h² )

 

Q1. If the sum of three dimensions and the total surface area of the rectangular box are 12 cm and 94 cm² respectively, then the maximum length of the stick that can be placed in the box is? 
यदि एक आयताकार बक्से के तीनों विमाओं के योग एवं कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल क्रमशः 12 सेमी और 94 वर्गसेमी है, तो उस छड़ी की लम्बाई जिसे बक्से में रखा जा सकता है, वह है? 
(a) 5√2 cm
(b) 5 cm
(c) 6 cm
(d) 2√5  cm
S1. Ans.(a)
Sol.
Maximum length of the stick that can be placed inside box=Diagonal of box
Total surface area = (sum of L + b + h)² – (Diagonal)²
94 = (12)² – (diagonal)²
(Diagonal)² = 144 – 94 = 50
Q2. In a swimming pool measuring 90m by 40m, if the displacement of water by one man is 800 cm³, what will be the rise in water level if 150 men entered the swimming pool?
एक स्वीमिंग पूल में जिसका माप 90 मी × 40 मी है, एक व्यक्ति द्वारा विस्थापित जल 800 घन सेमी है तो जल स्तर में कितने मीटर की वृद्धि होगी यदि 150 व्यक्ति इसमें प्रवेश करते है? 
(a) 0.66 m
(b) 0.44 m
(c) 0.33 m
(d) 0.25 m
S2. Ans.(c)
Sol. Volume of water displaced by 150 men = Volume of water came out
Let height raised in water = h cm
800cm³ × 150 = 9000 cm × 4000 cm × h
120 = 9 × 4000 × h
h=12/(9×400) cm
h=1/300 cm
h=1/3 m=0.33m
2. Cube(घन)
  • Volume(आयतन) = (side)³ = a³
  • Lateral surface area(पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल) = 4a²
  • Total surface area(कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल) = 6a²
  • Diagonal of the cube(घन का विकर्ण)= √3a
  • Face diagonal of the cube(एक घन के पृष्ठ का विकर्ण) = √2 a
  • Volume of the cube (घन का आयतन)= (√(total surface area)/6)³
  • In Radius of cube(घन की अन्तः त्रिज्या)= a/2
  • Circumradius of cube(घन की परित्रिज्या) = √3/2 a
Q1. Three cubes of volume 1 cm³, 216 cm³ and 512 cm³ are melted to form a new cube. Find the diagonal of the New cube?
1 घनसेमी, 216 घनसेमी और 512 घनसेमी आयतन के तीन घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है। नए घन का विकर्ण ज्ञात कीजिये।
(a) 15.6 cm
(b) 16.6 cm
(c) 17.6 cm
(d) 18.6 cm
S1. Ans.(a)
Sol.
Volume of New cube
= 1 cm² + 216 cm² + 512 cm³
= 729 cm³
a³ = 729 cm³
a = 9 cm
Diagonal of New cube = √3a
= √3×a
=9√3
= 9 × 1.7320
≅ 15.56 cm
Q2. The cost of painting the whole surface area of a cube at the rate of B paise per sq. cm is Rs. 343.98. Then the volume of the cube is?
B पैसे प्रति वर्गसेमी की दर से एक घन के कुल पृष्ठ को रंगने का लागत 343.98 रु. है। तो घन का आयतन है:
(a) 9261cm³
(b) 9264cm³
(c) 10248cm³
(d) 13310cm³
S2. Ans.(a)
Sol.
Cost of painting the whole surface = Rs. 343.98 = 34398 paise
Total surface area=34398/13=2646 cm²
Total surface area = cube = 6a²
6a² = 2646
a² = 441, a = 21 cm
Volume of cube = a³
= (21)³ = 9261 cm³
3. Right circular cone(लम्ब वृताकार शंकु)
  • Slant height (तिर्यक ऊंचाई), l = √(r²+h² )
  • Volume (वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल)= 1/3×area of base×height = 1/3  πr² h
  • Curved surface area(कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल)= 1/2  (Perimeter of base) × slant height = 1/2  × 2πr×l=πrl=πr√(r²+h² )
  • Total surface area(कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल) = C.S.A + Area of base = πrl+πr²=πr(l+r)
  • If cone is formed by sector of a circle then.(यदि एक वृत्त के त्रिज्यखंड द्वारा एक शंकु बनता है, तो)(a) Slant height = radius of circle , (b) circumference of base of cone = length of arc of sector
  • Radius of maximum size sphere in a cone(एक शंकु के भीतर अधिकतम आकार के गोले की त्रिज्या) =  (h × r)/(l + r)      [ r → radius of the cone , l →slant height of the cone , h→height of the cone)]
  • If cone is cut parallel to its base and ratio of heights, radius or slant height of both parts is given as →x∶y.( यदि शंकु को इसके आधार के सामानांतर काटा जाता है, और दोनों भागों की ऊंचाई का अनुपात, त्रिज्या या तिर्यक ऊंचाई x : y के रूप में दिया होता है, तो उनके आयतन का अनुपात) ,Then Ratio of their volume = x³ ∶y³
Q1. 5 persons live in a tent. If each person requires 16 m² of floor area and 100 m³ space for air then the height of the cone of smallest size to accommodate these persons would be?
5 व्यक्ति एक तम्बू में रहते हैं। यदि प्रत्येक व्यक्ति को फर्श के क्षेत्र का 16 वर्ग सेमी और अंतरिक्ष के 100 घन सेमी की आवश्यकता है, तो इन व्यक्तियों को स्थान देने वाले लघुतम आकार के शंकु की ऊंचाई क्या होगी?
(a) 16 m
(b) 18.75 m
(c) 10.25 m
(d) 20 m
S1. Ans.(b)
Sol. Let the height of cone h meter
⇒ Total area of ground will be required
= 5 × 16 m²= 80 m²
⇒ Total volume of air is needed
= 100 × 5 m³ = 500 m³
⇒ volume of cone = 500 m³
⇒ 1/3 area of ground = 500
⇒ 1/3 × πr² × h = 500
=1/3×80×h = 500
⇒ height = (500 × 3)/80
⇒ height of cone = 18.75 metres
Q2. In a right circular cone, the radius of its base is 7 cm and its height 24 cm. A cross-section is made through the midpoint of the height parallel to the base. The volume of the upper portion is?
एक लम्ब वृताकार शंकु में, इसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी है और इसकी ऊंचाई 24 सेमी है। आधार के समानान्तर ऊंचाई के मध्य बिंदु से इसे काटा जाता है। इसके ऊपरी भाग का आयतन कितना है?
(a) 169 cm³
(b) 154 cm³
(c) 1078 cm³
(d) 800 cm³
More Questions
Q1. The lateral surface area of frustum of a right circular cone , if the area of its base is 16π cm² and the diameter of circular upper surface is 4 cm and slant height 6 cm, will be?
एक लम्ब वृताकार शंकु के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल कितना है, यदि इसके आधार का क्षेत्रफल 16π वर्ग सेमी है और ऊपरी वृताकार सतह का व्यास 4 सेमी है और तिर्यक ऊंचाई 6 सेमी है? 
(a) 30π cm²
(b) 48π cm²
(c) 36π cm²
(d) 60π cm²
Q2. An inverted conical shaped vessel is filled with water to its brim. The height of the vessel is 8 cm and radius of the open end is 5 cm. When a few solid spherical metallic balls each of radius 1/2 cm are dropped in the vessel, 25% water is overflowed. The number of balls is:
एक उल्टा शंक्वाकार पात्र जल से लबालब भरा हुआ है। पात्र की ऊंचाई 8 सेमी है और खुले भाग की त्रिज्या 5 सेमी है। जब 1/2 त्रिज्या के कुछ ठोस गोलाकार धातु की गेंदों को पात्र में डाला जाता है, तो 25% जल बाहर निकल जाता है। गेंदों की संख्या है:
(a) 100
(b) 400
(c) 200
(d) 150
Q3. If the height and the radius of the base of a cone are each increased by 100%, then the volume of the cone becomes
यदि एक शंकु की ऊंचाई और आधार की त्रिज्या को 100% बढ़ाया जाता है, तो शंकु का आयतन होगा
(a) double that of the original
(b) three times that of the original
(c) six times that of the original
(d) eight times that of the original
Q4. A plane divides a right circular cone into two parts of equal volume. If the plane is parallel to the base, then the ratio, in which the height of the cone is divided, is?
एक सतह एक लम्ब वृताकार शंकु को समान आयतन के दो भागों में बांटा जाता है। यदि सतह आधार के सामानांतर है, तो वह अनुपात, जिसमें शंकु की ऊंचाई को काटा जाता है, वह है:
(a) 1 : √2
(b) 1 : ∛2
(c) 1 : ∛2-1
(d) 1 : ∛2+1
Q5. A solid sphere is melted and recast into a right circular cone with a base radius equal to the radius of the sphere. What is the ratio of the height and radius of the cone so formed?
एक ठोस गोले को पिघलाकर एक लम्ब वृताकार शंकु के रूप में ढाला जाता है जिसके आधार की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के समान है। इस प्रकार बने शंकु की ऊंचाई और त्रिज्या का अनुपात क्या है?
(a) 4 : 3
(b) 2 : 3
(c) 3 : 4
(d) 4 : 1